算符类教程#

费米子算符类#

我们在基础教程的第一节已经介绍过费米子的产生算符 \(a^{\dagger}_p\) 和湮灭算符 \(a_q\) 。如果我们要自定义哈密顿量或者拟设，可以使用pyChemiQ中的费米子算符类与泡利算符类。在pyChemiQ的费米子算符类中， \(P+\) 表示产生算符 \(a^\dagger_p\) ，用 \(Q\) 表示湮灭算符 \(a_q\) 。例如”1+ 3 5+ 1”代表 \(a^\dagger_1 a_3 a^\dagger_5 a_1\) 。FermionOperator类也可以同时存储这一项的系数，例如构建费米子项 \(2a_0a^\dagger_1\) 、 \(3a^\dagger_2a_3\) 和 \(a^\dagger_1 a_3 a^\dagger_5 a_1\) ：

from pychemiq import FermionOperator
a = FermionOperator("0 1+", 2)
b = FermionOperator("2+ 3", 3)
c = FermionOperator("1+ 3 5+ 1",1)

若要构建多个费米子项的加减，则采用字典序的形式构建多个表达式。例如p0构建 \(2a_0a^\dagger_1+3a^\dagger_2a_3\) 。除此之外，我们还可以构造一个空的费米子算符类p1，里面不包含任何产生和湮没算符及常数项；或者只构造电子之间排斥能常数项，例如p2；也可以通过已经构造好的费米子算符来构造它的一份副本，例如p3。

p0 = FermionOperator({"0 1+": 2, "2+ 3": 3})
p1 = FermionOperator()
p2 = FermionOperator(2)
p3 = p2

FermionOperator类也提供了费米子算符之间加、减和乘的基础的运算操作。计算返回的结果还是一个费米子算符类。该类同样也支持打印功能，可以直接将费米子算符类打印输出到屏幕上。

plus = a + b
minus = a - b
multiply = a * b
print("a + b = {}".format(plus))
print("a - b = {}".format(minus))
print("a * b = {}".format(multiply))

通过使用上述示例代码， \(a+b\) ， \(a-b\) 和 \(a*b\) 的计算结果如下：

a + b = {
0 1+ : 2.000000
2+ 3 : 3.000000
}
a - b = {
0 1+ : 2.000000
2+ 3  : -3.000000
}
a * b = {
0 1+ 2+ 3 : 6.000000
}

还可以通过normal_ordered接口对费米子算符进行整理。在这个转换中规定所作用的轨道编码从高到低进行排序，并且产生算符出现在湮没算符之前。整理规则如下：对于两个相同数字，交换湮没和产生算符，等价于单位1减去正规序。如果同时存在两个相同的产生或湮没算符，则该项表达式等于0(泡利不相容原理)；对于不同的数字，整理成正规序，需要将正规序的系数变为相反数(费米子算符的反对易关系)。例如表达式 “0 1+ 2+ 3”，整理成正规序 “2+ 1+ 3 0”，相当于不同数字交换了4次，系数不变。

print(multiply.normal_ordered())
{
2+ 1+ 3 0 : 6.000000
}

此外，费米子算符类还提供了data接口，可以返回费米子算符内部维护的数据。

print("data = {}".format(a.data()))
data = [(([(0, False), (1, True)], '0 1+'), (2+0j))]

泡利算符类#

泡利算符是一组三个 \(2×2\) 的酉正厄密复矩阵，又称酉矩阵。我们一般都以希腊字母 \(\sigma\) 来表示，记作 \(\sigma_x\) ， \(\sigma_y\) ， \(\sigma_z\) 。在量子线路中我们称它们为X门，Y门，Z门。它们对应的矩阵形式如下所示：

Pauli-X门：

\[\begin{split}X=\sigma_x=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Pauli-Y门：

\[\begin{split}Y=\sigma_y=\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Pauli-Z门：

\[\begin{split}Z=\sigma_z=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\end{split}\]

以上三个泡利(Pauli matrices)有时也被称作自旋矩阵(spin matrices)。可观察到Pauli-X门相当于NOT门，其将 \(|0\rangle\rightarrow|1\rangle,|1\rangle\rightarrow|0\rangle\) 。Pauli-Y门的作用相当于绕布洛赫球的 \(Y\) 轴旋转角度 \(\pi\) 。Pauli-Z门的作用相当于绕布洛赫球的 \(Z\) 轴旋转角度 \(\pi\) 。

泡利算符具有如下性质：

1. 泡利算符与自身相乘得到是单位矩阵

\[\begin{split}&\sigma_x \sigma_x=I \\ &\sigma_y \sigma_y=I \\ &\sigma_z \sigma_z=I\end{split}\]

2. 顺序相乘的两个泡利算符跟未参与计算的泡利算符是 \(i\) 倍的关系

\[\begin{split}&\sigma_x \sigma_y=i \sigma_z \\ &\sigma_y \sigma_z=i \sigma_x \\ &\sigma_z \sigma_x=i \sigma_y\end{split}\]

3. 逆序相乘的两个泡利算符跟未参与计算的泡利算符是 \(-i\) 倍的关系

\[\begin{split}&\sigma_y \sigma_x=-i \sigma_z \\ &\sigma_z \sigma_y=-i \sigma_x \\ &\sigma_x \sigma_z=-i \sigma_y\end{split}\]

pyChemiQ 中实现了泡利算符类 PauliOperator。我们可以很容易的构造泡利算符类，例如构造一个空的泡利算符项，如p1；或者构造带系数的泡利算符直积项 \(2\sigma_z^0\sigma_z^1\) , 如p2。这里泡利算符右上角的数字代表作用在具体的量子比特，这一项代表的意义的是一个Pauli-Z门作用在量子比特0张乘一个Pauli-Z门作用在量子比特1上，该项的系数为2；若要构建多个泡利算符直积项的加和，可以采用字典序的形式，如p3构建的是 \(2\sigma_z^0\sigma_z^1 + 3\sigma_x^1\sigma_y^2\) ；或者构造一个如p4的单位矩阵，其系数为5，也可以用如p5的形式来构建，二者等价。

from pychemiq import PauliOperator
p1 = PauliOperator()
p2 = PauliOperator("Z0 Z1", 2)
p3 = PauliOperator({"Z0 Z1": 2, "X1 Y2": 3})
p4 = PauliOperator(5)
p5 = PauliOperator("", 5)

注: 构造泡利算符类的时候，字符串里面包含的字符只能是空格、X、Y和Z中的一个或多个，包含其它字符将会抛出异常。另外，同一个字符串里面同一泡利算符的比特索引不能相同，例如：PauliOperator(“Z0 Z0”, 2)将会抛出异常。

同费米子算符类一样，泡利算符类之间可以做加、减、乘等操作，计算返回结果还是一个泡利算符类。而且也支持打印功能，我们可以将泡利算符类打印输出到屏幕上，方便查看其值。

a = PauliOperator("Z0 Z1", 4)
b = PauliOperator("X5 Y6", 3)
plus = a + b
minus = a - b
muliply = a * b
print(plus)

在实际使用的时候，我们常常需要知道该泡利算符项操作了多少个量子比特，这时候我们通过调用泡利算符类的接口get_max_index()得到。如果是空的泡利算符项调用get_max_index()接口则返回SIZE_MAX（具体值取决于操作系统），否则返回其最大索引值。在下面的例子里，前者输出的值为1，后者输出的值为6。

a = PauliOperator("Z0 Z1", 2)
b = PauliOperator("X5 Y6", 3)
print(a.get_max_index())
print(b.get_max_index())

此外，泡利算符类也提供了data接口，可以返回泡利算符内部维护的数据。

print("data = {}".format(a.data()))
data = [(({0: 'Z', 1: 'Z'}, 'Z0 Z1'), (2+0j))]